El problema de Hadwiger-Nelson, uno de los más renombrados en geometría discreta, ha desafiado a matemáticos durante más de 70 años. Este enigma plantea la siguiente cuestión: ¿cuál es el número mínimo de colores necesarios para pintar el plano de manera que cualquier par de puntos a una distancia de una unidad se pinten con colores diferentes? Aunque aparentemente simple, la respuesta a esta pregunta sigue siendo incierta, con los matemáticos todavía debatiendo entre cinco, seis o siete colores.
El problema se resuelve parcialmente a través de la creación de configuraciones específicas de puntos en el plano que no pueden ser coloreadas con menos de un número determinado de colores sin violar la regla. Por ejemplo, si se organizan los vértices de un triángulo equilátero de lado 1, se necesita al menos tres colores para cumplir la condición, ya que no debe haber dos puntos adyacentes con el mismo color.
A lo largo de las décadas, matemáticos como los hermanos Leo y William Moser en los años 60 han avanzado con configuraciones de puntos que requieren, al menos, cuatro colores. Más recientemente, el matemático aficionado Aubrey de Grey ha presentado una configuración con más de 1000 puntos que demuestra que se necesitan al menos cinco colores para cumplir con la propiedad. Aunque existe una estrategia que utiliza siete colores, que cubre el plano a través de una teselación en panal, el misterio persiste: ¿es posible encontrar una coloración que necesite menos de siete colores?
Con el objetivo de avanzar en la comprensión de este enigma, los matemáticos han empezado a estudiar versiones más débiles del problema, permitiendo que algunos puntos del mismo color estén a distancias mayores a la unidad. Esta versión más flexible introduce el concepto de configuración válida, en la cual se asignan distancias específicas a cada color para cumplir con la condición original, pero con mayor margen de maniobra.
Un grupo de investigadores del Zuse Institute Berlin (ZIB) y de la Technische Universität Berlin (TU Berlin), liderado por Konrad Mundinger, Sebastian Pokutta, Christoph Spiegel y Max Zimmer, ha logrado un avance significativo en esta dirección. Han desarrollado una configuración de seis colores con distancias asociadas que cumplen la condición básica, con una excepción: el sexto color tiene una relajación en la distancia mínima entre puntos, permitiendo que algunos puntos estén entre 0,354 y 0,657 unidades de distancia.
Este avance es posible gracias al uso de aprendizaje automático, una herramienta que ha demostrado ser invaluable en la investigación matemática. En lugar de buscar soluciones exactas, los investigadores han entrenado una red neuronal para explorar un vasto espacio de posibles configuraciones de colores y distancias, lo que resulta una tarea demasiado compleja para los humanos. Aunque la red no resuelve el problema exacto, funciona como un «oráculo aproximado», generando posibles soluciones que los matemáticos luego interpretan y analizan.
Este enfoque ha llevado a la construcción de nuevas configuraciones que mejoran las soluciones anteriores. Una de las propuestas más destacadas es una teselación periódica en la que se utilizan seis colores, donde el sexto color, el rojo, es el que tiene la mayor relajación en las condiciones de distancia. Este avance no solo es relevante para el problema de Hadwiger-Nelson, sino que abre la puerta a nuevas formas de aplicar técnicas de aprendizaje automático en la resolución de problemas matemáticos complejos, incluidos otros problemas en geometría y en áreas más amplias de las matemáticas.
Juanjo Rué, profesor del Departamento de Matemáticas de la UPC y miembro de IMTech, junto a Ágata A. Timón G Longoria, coordinadora del ICMAT, destacan el potencial de estas técnicas computacionales en su capacidad para abordar problemas que, hasta ahora, eran prácticamente inabordables.
La investigación sobre el problema de Hadwiger-Nelson continúa, y el uso de redes neuronales podría ser clave para finalmente desvelar la solución completa a este fascinante enigma matemático.
